Racine carrée complexe

Définition

Soit  $a$ un nombre réel.

On appelle racines carrées complexes de  $a$ les solutions dans  $\mathbb{C}$ de l'équation $x^2=a$ .

Proposition  

Soit  $a$ un nombre réel.

• Si $a>0$ , alors $a$ possède deux racines carrées réelles : $-\sqrt{a}$ et $\sqrt{a}$ .
  
• Si $a=0$ , alors  $a$ possède une seule racine carrée réelle : 0 .
  
• Si $a<0$ , alors  $a$ possède deux racines carrées complexes : $-i\sqrt{-a}$ et $i\sqrt{-a}$ .
  

Re marque

La notation de radical $\sqrt{.}$  n'est utilisée que pour les nombres réels positifs ou nuls, afin d'éviter toute confusion. Ainsi,  $\sqrt{-a}$ est bien définie lorsque $a\le 0$  (car $-a\ge 0$ et on peut bien calculer la racine carrée de $-a$ ).